\chapter{1992年,Deutsch-Jozsa算法推导}
	
	\begin{abstract}
		本文详细阐述了1992年由David Deutsch和Richard Jozsa提出的Deutsch-Jozsa量子算法的推导过程。该算法首次展示了量子计算在解决特定问题上相对于经典计算的指数级加速优势。我们从Deutsch问题的原始形式出发，逐步扩展到多比特的Deutsch-Jozsa算法，分析其量子电路实现，并讨论其理论意义和应用前景。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	\subsection{背景}
	量子计算理论在20世纪80年代开始形成，David Deutsch于1985年提出的量子图灵机模型奠定了理论基础。1992年，Deutsch和Jozsa共同提出了后来被称为Deutsch-Jozsa算法的量子算法，解决了所谓的"Deutsch问题"的推广形式。
	
	\subsection{问题描述}
	给定一个函数$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$，并承诺该函数要么是常函数（对所有输入返回相同值），要么是平衡函数（对一半输入返回0，另一半返回1）。Deutsch-Jozsa算法的目标是以最少的查询次数确定$f$属于哪一类。
	
	\section{Deutsch问题的原始形式}
	\subsection{单比特情况}
	考虑最简单的单比特Deutsch问题：
	\begin{equation}
		f:\{0,1\} \rightarrow \{0,1\}
	\end{equation}
	
	经典算法需要两次查询才能确定$f$是否为常函数，而量子算法仅需一次查询。
	
	\subsection{量子解决方案}
	量子算法的核心在于利用叠加态和干涉效应：
	
	1. 初始化量子态：
	\begin{equation}
		|\psi_0\rangle = |01\rangle
	\end{equation}
	
	2. 应用Hadamard门：
	\begin{equation}
		|\psi_1\rangle = H^{\otimes 2}|\psi_0\rangle = \frac{1}{2}(|0\rangle + |1\rangle)(|0\rangle - |1\rangle)
	\end{equation}
	
	3. 应用量子Oracle $U_f$：
	\begin{equation}
		U_f|x\rangle|y\rangle = |x\rangle|y \oplus f(x)\rangle
	\end{equation}
	
	4. 再次应用Hadamard门并测量。
	
	\section{Deutsch-Jozsa算法的扩展}
	\subsection{多比特推广}
	将单比特情况推广到$n$比特输入：
	
	1. 初始化：
	\begin{equation}
		|\psi_0\rangle = |0\rangle^{\otimes n}|1\rangle
	\end{equation}
	
	2. 应用Hadamard变换：
	\begin{equation}
		|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}}\sum_{x\in\{0,1\}^n}|x\rangle(|0\rangle - |1\rangle)
	\end{equation}
	
	3. Oracle操作：
	\begin{equation}
		|\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}}\sum_x (-1)^{f(x)}|x\rangle(|0\rangle - |1\rangle)
	\end{equation}
	
	4. 再次应用Hadamard变换：
	\begin{equation}
		|\psi_3\rangle = \frac{1}{2^n}\sum_{z}\sum_x (-1)^{x\cdot z + f(x)}|z\rangle \otimes \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}
	\end{equation}
	
	\subsection{测量结果分析}
	测量前$n$个量子比特：
	
	- 若$f$为常函数，则测得$|0\rangle^{\otimes n}$的概率为1
	- 若$f$为平衡函数，则测得$|0\rangle^{\otimes n}$的概率为0
	
	\section{量子电路实现}
	Deutsch-Jozsa算法的量子电路如图\ref{fig:circuit}所示。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
%		\includegraphics[width=0.6\textwidth]{djc_circuit.png}
		\caption{Deutsch-Jozsa算法量子电路图}
		\label{fig:circuit}
	\end{figure}
	
	电路包含以下主要部分：
	\begin{itemize}
		\item $n$比特输入寄存器
		\item 1比特辅助寄存器
		\item Hadamard门层
		\item Oracle $U_f$实现
		\item 测量操作
	\end{itemize}
	
	\section{复杂度分析}
	\subsection{查询复杂度}
	\begin{itemize}
		\item 经典确定性算法：最坏情况下需要$2^{n-1}+1$次查询
		\item 量子算法：仅需1次查询
	\end{itemize}
	
	\subsection{计算复杂度}
	量子算法的计算复杂度为$O(n)$，主要来自Hadamard变换的应用。
	
	\section{理论意义}
	Deutsch-Jozsa算法的重要意义在于：
	\begin{itemize}
		\item 首次证明了量子计算在特定问题上具有指数级加速
		\item 为后续量子算法（如Simon算法、Shor算法）奠定了基础
		\item 展示了量子并行性和干涉效应的实际应用
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	Deutsch-Jozsa算法虽然解决的是一个理论性问题，但它清晰地展示了量子计算的优势。该算法的推导过程体现了量子计算的核心原理，包括量子并行性、干涉效应和测量理论，为后续量子算法的发展提供了重要范式。
	
	\section*{致谢}
	感谢David Deutsch和Richard Jozsa的开创性工作，以及所有为量子计算发展做出贡献的研究者。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{deutsch92} 
		Deutsch, D., \& Jozsa, R. (1992). 
		Rapid solutions of problems by quantum computation. 
		Proceedings of the Royal Society of London A, 439(1907), 553-558.
		
		\bibitem{nielsen} 
		Nielsen, M. A., \& Chuang, I. L. (2010). 
		Quantum computation and quantum information. 
		Cambridge university press.
		
		\bibitem{yanofsky} 
		Yanofsky, N. S., \& Mannucci, M. A. (2008). 
		Quantum computing for computer scientists. 
		Cambridge University Press.
	\end{thebibliography}
	